佩雷尔曼的生活已经有了很大的变化，他对周围其他的事情没有一般人那么多的期待。仅仅是一般般的观赏。
在他的脑中，只对庞加莱提出的拓扑学问题有了兴趣。
佩雷尔曼生活很简单，一切收入来源除了自己有一丁点的薪水以外，就是自己的母亲养活自己了。
佩雷尔曼知道，当心俄罗斯的生活没有了太多的其他希望，大家过的都不景气，经济也差，机会也少。如果工作找的不合适，那么一生几乎就要穷困潦倒了。
佩雷尔曼自从爱上数学和物理之后，哪里对其他的事情抱有大的兴趣。
此刻是对庞加莱猜想兴趣最大，庞加莱猜想就是：“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”
简单的说，一个闭的三维流形就是一个有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维球面。
后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。
庞加莱一开始以为自己已经证明出来了，但没多久，发现其中有错误。
英国数学家怀特海也去证明了，也有错误，但是却发现了怀特海流形。这是三维流形的一些有趣的特例。
帕帕奇拉克普罗斯也想证明，发现了“迪恩引理”。对于庞加莱的猜想，他始终没有证明出来。
庞加莱猜想没有证明出，发展出低维拓扑学。作为几何拓扑学的基础学科，它又无法被绕过去。
斯梅尔说：“如果三维的庞加莱猜想难以解决，高维的会不会容易些呢？”