随着序号增加而接近。
给定一个数列，如何判断它是否是柯西序列？方法是先去掉n个元素（n是有限的数），再看剩下的元素有没有这样一种规律：任何两个元素之差不大于任意指定的正数。
这种序列有无穷多个元素，我们可以举一个具体的例子。比如一个序列：{x1，x2，x3，x4…}，其中x1=1，xn1=(xn2/xn)/2。这个序列其实是：{1，3/2，17/12…}。可以证明这个数列最后收敛到一个无理数：根号2。既然它收敛于某个具体的数（根号2），那么当我们去掉有限个数之后，剩下的数都无穷接近于根号2，当然任何两个元素之差不大于任意正数，于是能确定这是柯西序列。
我们可知，柯西序列的定义有赖于如何定义距离。在上述例子里，我们把两个数之差定义为它们的距离，当然距离还有其他的定义方法。只有定义了距离，柯西序列才有意义。换句话说，只有在度量空间中柯西序列才有意义。
柯西序列的重要作用是定义“完备空间”。完备空间是指一种度量空间，它的所有柯西序列（如果有的话），都收敛在这个空间自己里面。有一种直观的形容方法就是完备空间“没有孔”（内部不缺点），“不缺皮”（边界不缺点）。完备空间在数学分析里面有重大作用。