人的工作后由伽罗华用群论系统地证明了，并且由此产生了伽罗华理论。然而，1963年阿诺德竟然想到了用拓扑学的方法加以证明。证明思路基于如下观察和定理。观察是，方程系数绕一个环路回到原点可能会造成多项式方程根的置换。而定理是，两个环路对易式定义的环路会造成根空间里的环路。这样问题就来了，如果根的置换的对易式还是根的置换的话，那代数方程解的公式就必须是嵌套根式的样子。若根的置换的对易式之对易式一直是根的置换，那解的根式表达就必须是无限嵌套的样子。五次方程没有有限根式解由此得到了一个拓扑学角度的证明，思路清晰，比伽罗华理论好懂多了。此两例的详细内容，请参见拙著《惊艳一击》和《云端脚下》。