形如a3b3=c3的方程有没有正整数解？那么a4b4=c4呢？a10，007b10，007=c10，007呢？费马的答案是不能。将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，不存在满足条件的a，b，c。费马在《算术》的页边写下名句：“关于此，我确信我发现了一种美妙的证法，可惜这里的空白处太小，写不下。”
他似乎也从没在别处详细阐述过。费马去世后，他的儿子samuel出版了一本新版《算术》，里面囊括了他老爹在页边空白处所做的所有笔记。笔记中的数学命题，往往没写下证明过程，留下了一个极为诱人的挑战。几年内，读者几乎证明出了所有命题，除了那个关于高维勾股数组的命题，那是“最后一个”未能被证明的命题（费马大定理也称作“费马最后的定理”）。
几个世纪以来，费马大定理成了科学家、业余爱好者和“民科”们追逐的对象，每次看似靠近却发现没有出路。（数学王子高斯是早期少数抵制其魅力的数学家之一，他驳斥其为“一个孤立的命题，让我没有什么兴趣”。）法国科学院为它设立了数目可观的赏金。但即使最优秀的数学家在费马大定理上取得的进展也很有限。费马在笔记中给出了n=4时的定理证明。数学家之后也证出大定理对n<100以及相应的n的倍数都是成立的，但是对所有n，他们既无法证明，也无法证伪。
不过，他们的探索带来了别的收获。从失败的废墟中，诞生出开辟广阔数学新领域的深层理论。1847年，法国数学家奥古斯丁·路易·柯西（augustinlouiscauchy）和他的竞争对手gabriellamé都相信自己借助包含虚数的复数系证明了费马大定理。典型的虚数形式是bi，其中i=√(-1)；b是实数。一个复数写作abi，具有一个实部a和一个虚部bi。
柯西和lamé的证明都基于一个被普遍认为正确的猜想：复数和实数一样，可以被分解成唯一一组质数对。比如6=2x3，除了更改顺序分解成3x2，不会有别的结果。但令两人感到尴尬的是，他们同时代的德国数学家ernstkummer证明某些复数可以有多种方式的质因数分解。比如60i，可以分解成2x(√2i)x(√2–i)或者(1√5i)x(1–√5i)。
为了修复复数的唯一质因数分解性质，kummer创造了一个新的代数概念——理想（ideal），这对后世抽象代数的发展有着重要作用。美国代数学家leonardeugenedickson在20世纪初写道，kummer的创造是“上世纪最重要的科学成就之一”。
但费马大定理的证明停滞在这里。19世纪中后期，大多数主流数学家跟从高斯的选择，搁置了费马大定理的证明工作。他们已经穷尽了所有可能的方法，提不出新的解决思路。尝试证明大定理或是推翻它，都是时间和精力上的巨大冒险。一个大有可为的数学家可能穷尽一生，苦思冥想，最后思维枯竭却拿不出和努力相当的成果。
切入口——谷山-志村猜想
怀尔斯在10岁时第一次接触到费马大定理。像许多拥有数学梦的孩子一样，他幻想着能够解决它。但是在剑桥攻读博士期间，怀尔斯听从导师的建议，选择避开那条可能的死胡同。另一方面，他转而学习在密码学中非常有用的椭圆曲线。椭圆曲线的图看起来就像甜甜圈的表面。
在怀尔斯到普林斯顿大学数学系任教之后，1986年加州大学伯克利分校的数论家kenribet提出了一个意想不到的思路，这对费马大定理的证明具有深远的意义。此前30年，东京大学两位年轻学者谷山丰（utakataniyama）和志村五郎（goroshimur）提出了“谷山-志村猜想”，建立起椭圆曲线（代数几何的对象）和模形式（数论中用到的某种周期性全纯函数）之间的重要联系。
模形式是数论中常用的工具，其存在于四维双曲空间（一种弯曲的空间）中，具有惊人的对称性。就像正方形绕中心旋转四分之一圈可以和自身重合；同样，一个模形式经过旋转、反射或者其他变换后，还是能与自身重合。另一方面，椭圆曲线本身就是一种代数结构。当你在复平面中画出满足y2=x3axb（a和b是常数）的图像，就能得到椭圆曲线。
谷山和志村提出了一个大胆而激进的想法：模形式是椭圆曲线的另一种形式。如果他们是对的，那么至今所有有关模形式的研究成果都可以用椭圆曲线的语言表示出来，反过来也一样。证明这个猜想将是统一数学不同分支的关键。
这或许是证明或证伪费马大定理的突破口。20世纪70年代，法国一位名叫yveshellegouarch的在读博士生证明，如果费马大定理是错误的，即能找到方程anbn=cn（n>2）的一组整数解（a，b，c），那么就可以得到满足y2=x(x–an)(xbn)条件的椭圆曲线。十年后，德国数学家gerhardfrey进一步指出，只有谷山-志村猜想错误的情况下，上述椭圆曲线才会存在。或者说得更直接些：谷山-志村猜想一旦成立，那么费马大定理必将成立。
ribet证明了frey的猜想是正确的。这让怀尔斯倍受鼓舞，现在他可以重拾小时候证明费马大定理的梦想而不必背离当下主流的数学研究了。他躲进家中的顶楼，决心证明谷山-志村猜想。
到1993年12月，距剑桥演讲已经过去了6个月，怀尔斯几乎没有告诉任何人，这个数学界等待了几个世纪的证明在他身后摇摇欲坠。只有论文的审稿人和他的密友知道证明存在缺陷。而怀尔斯根本没有证明费马大定理的流言开始传开，数学家们要求他公开论文原稿。如果存在错误，同行们寄希望于某个人能魔术般地看清并修复这些缺陷。
但怀尔斯不准备让他人轻易攫取这份荣誉。他又重回阁楼，重回到一种孤独的状态，甚至一直担任怀尔斯非官方新闻联络人的ribet也无法联系到他。普林斯顿的数学教授、怀尔斯的朋友petersarnak说：“不知怎么的，人们的想法是‘你要证明费马大定理，如果不证明出来，你就有麻烦了。’”
sarnak劝说怀尔斯去找个合作者一起修复这个缺陷，即使仅仅“能让他的想法从过于熟悉的人身上脱离开去。”怀尔斯电话邀请了他以前的学生lor当时已经是剑桥大学著名的数论学家。起初，他们尝试了taylor所说的“局部化处理”：对怀尔斯不完备证明中使用的方法进行小的改良，从而修正错误。
但这却于事无补。taylor回忆说，接着他们决定“扩大范围，撒张更大的网，来找寻其他的方法”。整个春季再到夏季，他们一直在工作，甚至常常在深夜里通过电话长时间讨论。taylor说：“我从来没有收到过如此昂贵的电话账单。”
但是到1994年9月，他们的努力仍然没有任何进展。在准备向世界承认失败的前一刻，怀尔斯决定“最后一次检查”最初的方法结构，试图确切地找出它不能奏效的原因。在bbc的记录片theproof中，他讲述了接下来的故事。“突然间，完全出乎意料，我有了一个难以置信的发现。”在曾经失败的技术的余烬中，恰恰有用来证明另一个猜想的工具。那个工具就是“岩泽理论”（iwasawatheory）。他在三年前放弃了这种方法，但现在他能用它彻底地弥补缺陷，从而证明了费马大定理。“它美得无法形容，它是那么简洁而优雅。我呆望着它，难以置信。”
凭借着这一理论，怀尔斯和taylor很快就在几个星期内修复了论文中的漏洞。1995年5月，他们在国际顶尖期刊《数学年刊》（annalsofmathematics）上发布了集合所有工作的两篇论文。最终的证明和附带的讨论长达130页。
这是不是费马没有写下的证明呢？也就是那个因为《算术》页边太窄而写不下的“美妙的证法”？唯一合理的答案是“no”。为了证明费马大定理，怀尔斯使用了最新的数学工具和思想，它们的诞生远远晚于费马的时代。大多数数学家认为费马的定理是在错误中总结的。如果他确信自己知道证明方法，很有可能只是迷惑了自己。
但重要的不是费马个人的对和错。古希腊人点燃了数论领域的源，而费马的一次误导性的吹嘘，把奄奄一息的火焰煽成了数学的一个主要分支。他不完美的天才留给我们的数学遗产远远比给他如何得出猜想的琐碎小事更为重要。
而对怀尔斯来说，所幸他的失误只是一个可以弥补的小缺陷。